Logaritmo: para que serve, como calcular e quais suas leis

Você já se perguntou para que serve logaritmo? Qual é a necessidade de aprendê-lo? Ou, até mesmo, em que contexto da “vida real” eles podem ser utilizados? Aqui vamos te mostrar para que serve o logaritmo, como calculá-lo, quais são suas leis, ou propriedades, e por que é importante aprendê-lo na escola!

O que é e para que serve logaritmo? 

Visto no ensino médio, para que serve logaritmo? Pode ser utilizado nas mais diversas áreas da “vida real”, como: 

• Escala Richter (registro da intensidade de terremotos); 
• Escala Decibel (variação do som que o ouvido humano é capaz de captar); 
• Machine Learning, ou “aprendizado da máquina” em tradução livre; 
• Medicação do valor do pH; 
• E em outros exemplos menos usuais caso você não seja da área de exatas, como Lei de Benford.

De maneira bastante resumida, o logaritmo é uma operação semelhante a potencialização. Por exemplo, 10² é uma operação de potencialização bem simples, pois envolve multiplicar a base 10 na mesma quantidade de vezes que o seu expoente (nesse caso, 2) e obteremos o resultado: 100.

Caso você só possuísse o resultado (100), poderia ser necessário realizar a operação log 10 (100) resultando em 2!

Como calcular um logaritmo?

Agora que você já sabe para que serve o logaritmo, quais são as funções da vida real a que ele atende, é importante saber calculá-lo. O logaritmo pode ser dividido em: base (a), logaritmando (b), e logaritmo (n). Na prática, é a mesma coisa que aⁿ ou seja, o logaritmo nos permite encontrar “por quantas vezes a é potencializado até alcançar o resultado em b”.

Vamos exemplificar com log3 = 81: onde, temos de descobrir qual número, elevado a terceira potência, resulta em 81. Para tanto, devemos fatorar o número 81, e a quantidade de vezes em que o número 3 aparece à direita equivale à quantidade de vezes em que o número 3 foi elevado para chegar a 81 (neste caso, 4).

O que é o inverso de um logaritmo?

A operação equivalente ao inverso da função logarítmica é a função exponencial. E para que serve o logaritmo na função exponencial? Como a função exponencial é feita? Ela pode ser definida como f(x) = aⁿ, e “a” precisa estar inserido no conjunto dos reais, ser um número positivo, e diferente de 1.

Para dominar ambas as funções é necessário compreender bem a potenciação, pois é ela quem servirá de base para compreender tanto a função logarítmica, quanto a função exponencial.

O que é o logaritmo de um número negativo?

Quando um número é negativo, seu logaritmo não existe! Isso acontece porque a ∙ x = y só pode existir se “a” for maior que zero, e pertencente ao conjunto dos números reais.

Na prática, isso quer dizer que toda a potência de um número resulta em um número positivo (até mesmo na potenciação, por exemplo, quando os números são elevados a 0 seu resultado é sempre 1).

O que é o logaritmo de zero?

Zero não apresenta logaritmo, ou possui um resultado indefinido, porque não há um número elevado a “n” resultante em zero. Então, para que serve logaritmo quando desejamos encontrar o log de zero? Não serve, já que não pode ser utilizado e não demonstra um resultado definido.

Quais são as propriedades dos logaritmos?

Assim como todas as operações matemáticas, o logaritmo também possui suas leis (ou propriedades) para poder ser utilizado de maneira adequada.

E para que serve logaritmo no contexto dessas propriedades? A utilização dessas propriedades permite a facilitação do cálculo do logaritmo e suas diversas formas em cálculos diferentes, a depender da finalidade do que estamos calculando. 

Separamos, nestes tópicos, quais são elas e como elas funcionam, confira:

Logaritmo de 1

Nestes casos, quando calculamos o logaritmo do número 1, sempre resultará em 0, porque todo número elevado a zero, independente de qual seja a base da potenciação, resulta em 1.

Logaritmo do mesmo número da base

Quando desejamos calcular o logaritmo de um número “a”, mas esse número também faz parte da base, a operação sempre resultará em 1. Afinal, a¹ = a, já que “a” só se repetirá uma vez, enquanto quando calculamos a² teremos a . a, a base é repetida duas vezes.

Logaritmo de uma potência

Quando desejamos calcular um logaritmo cuja base é uma potenciação, o resultado de uma função logarítmica de uma potência é, sempre, igual ao expoente. Ou seja, se temos loga aⁿ o resultado será “n”.

Logaritmo no expoente

Quando a potenciação apresenta uma função logarítmica no expoente, o resultado é a base da operação logarítmica. Ou seja, log alog b terá como resultado o próprio “b”; já que aⁿ = b.

Logaritmos iguais

Duas funções logarítmicas são iguais quando seus logaritmandos são iguais. Ou seja, loga b = loga c b = c.

O que é a mudança da fórmula base para logaritmos?

Uma vez entendida bem a estrutura que compõe a função logarítmica, podemos realizar a seguinte pergunta: para que serve logaritmo em uma mudança de base? A propriedade chamada “mudança da fórmula base” serve como uma operação básica que consiste em transformar o logaritmo em uma potenciação.

Por exemplo, se temos a operação loga x = n, então é seguro dizer que x = aⁿ, e se um logb x = z, então é seguro dizer que x = bᶻ.

Uma vez entendido isso, para transformar às duas operações em um mesmo logaritmo de mesma base é necessário colocar ambas as operações no formato loga x = loga xlogb xlob a.

Quais são o logaritmo comum e o logaritmo natural?

Os logaritmos comuns são aqueles de base 10. E para que serve o logaritmo natural? Bom, como foi trabalhado ao longo deste texto, o logaritmo comum é utilizado, principalmente por cientistas que realizam esses tipos de cálculos.

Onde usam o logaritmo para definir a intensidade de um terremoto (Escala Richter), definir a capacidade humana de captar determinado som (Escala Decibel), etc.

E para que serve logaritmo natural? Os logaritmos naturais, ou neperianos, surgiram em 1614 por um artigo do escocês John Napier: em sua definição, quando “a” e “b” são números nos reais, são positivos, o logaritmo teremos o logaritmo de “b” na base “a”, e “a” deve ser elevado a um terceiro número que resulte em “b”. 

Ou seja, são a definição básica do que é um logaritmo, e são o tipo de logaritmo que aprendemos para utilizar na escola quando estamos aprendendo!